기수법 [ 記數法 , numeral system ]

임의의 수를 일정한 개수의 숫자를 사용하여 표현하는 방법.



일반적으로 임의의 수 0, 1, 2,…, p－1의 p개의 정수(整數)를 써서 나타내는 기수법을 p진법(進法)이라 한다. p진법에서 임의의 정수는 anpn＋an-1pn-1＋…＋a1p＋a0(ai는 0, 1, 2,…, p－1 중의 어느 하나)으로 나타낼 수 있다. 보통 사용하고 있는 진법은 0, 1, 2,…, 9의 10개의 숫자를 사용하는 십진법으로서, 자리잡기가 있어 계산이 편리하다.

이를테면, 4,241에서 숫자 4는 2개가 있지만, 최초의 4는 4,000, 다음의 4는 40을 나타내고 있다. 즉, 같은 숫자라도 자리잡기에 따라 그 값을 달리한다. 이런 점에서 아라비아숫자의 기수법, 즉 십진법을 '자리잡기에 의한 기수법'이라고도 한다. 이 외에도 이진법·오진법·칠진법 등 많은 방법을 생각할 수 있지만, 이론상으로는 이진법이 가장 합리적이라고 알려져 있다.



기수법의 유래
수를 나타내는 방법에는 명수법(命數法)과 기수법(記數法)이 있다. 명수법은 수를 말로 나타내는 것이고(하나, 둘, 셋과 같은) 기수법은 수를 기호로 나타내는 것(1, 2, 3과 같은)을 말한다.
기수법은 문명의 시작과 동시에 이루어졌을 것으로 생각된다.


이진법은 손의 개수, 다리의 개수, 팔의 개수 등. 두 개씩 짝으로 있는 것으로 만들어 진것 이고요.



오진법은 한 손의 손가락 수 입니다.



십진법은 인간의 모든 손가락 수 이고요.



세계 최초로 발견된 수는 고대 메소포타미아에서 진흙으로 만든 판자 위에 쐐기 모양의 문자를 새겨서 썼다. 그래서 이 문자를 보통 "쐐기문자"라고 부른다.
또한 이집트의 경우도 필요한 개수만큼 단위(1, 10, 100, …등)를 나타내는 숫자를 늘어놓는다는 점에서 메소포타미아와 비슷하다. 그러나 메소포타미아의 문자나 숫자가 진흙판에 새겨진데 비해 이집트의 숫자는 파피루스라고 하는 갈대로 만든 종이에 썼다.
중국에서는 1부터 4까지는 그 수만큼 막대를 사용하여 가로쓰기로 나타내고 5가 되면 새로운 기호를 썼다. 여기까지는 메소포타미아나 이집트, 그리고 고대 그리스나 로마의 경우와 같다. 그러나 그 이상이 되면 숫자의 모양이 크게 달라진다.

인류 역사에 비해 기록이 남은 수의 역사는 고작 수 천년에 불과하다. 그러나 뜻밖에 우리가 쓰는 말 중에 아득한 옛날에 사용된 셈의 방법이 남아있다. 1937년 체코슬로바키아에서 발견된 늑대의 뼈에 새긴 텔리(Tally)로 보면 텔리로 보면 알 수 있다. 가축 수를 세기 위해 눈금을 이용해서 1대 1대응을 시켜 수를 확인하였다. 그 뒤로 돌멩이를 사용하기도 하였다.


(1)10진법

사람이 수셈을 하는 데 오늘날


일
이
삼
사
오
육
칠
팔
구
십
십일
십이
십삼

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)




과 같이 세는 기수법(基數法)을 10진법이라고 한다. 10진법은 10을 한 묶음으로 하여 되풀이 되는 수셈법이다. 이 10진법으로 물건을 세는 방법이 우리 인류에게 가장 많이 쓰이게 된 주된 이유는 인간의 두 손에 10개의 손가락을 갖고 있는데 유래한다. 아프리카에는 수많은 종족과 언어가 있는데 70이 넘는 아프리카 어(語)를 조사한 결과 10은 어느 언어에서도 공통으로 사용된 것을 알 수 있고, 역시 손가락의 수에 근거를 두고 있다. 양손은 물건을 가장 많이 만지고 물건을 옮기고, 손가락으로 수를 표시하는데 가장 편리하였기 때문에 10진법이 수의 표시에 많이 쓰인 것이다. 그리고 10진법이 널리 쓰이게 된 또 하나의 이유는 수를 나타내는데 필요한 기호(記號)가 간단하고 적은 것으로도 나타낼 수 있는데 있다.

10진법은 매우 늦게 발생한 것으로써 5진법이 그 기능을 잃은 바로 뒤에 나타났다고 하는 설이 있다. 이 근거는 프르다크, 또는 아폴로뉴우스가 그의 글 펨파제인(5에 해당)을 수계산을 표시하는데 사용했다고 하는 사실에 근거를 두고 있다.



(2) 2진법

원시적인 미개인은 참으로 오랜 세월의 여정을 거쳐서 수의 명칭을 발달시켰다. 10진법이 원시인의 기수법은 아니었다. 2진법이 최초에 사용한 기수법인 것은 확실하다고 본다.

예컨데 쿼스랜드의 토족의 경우 그들은 '하나, 둘, 둘 하나, 다수' 와 같이 셈하였는데 그 때 최후의 항을 4와 4보다 큰 모든 수를 포괄하고 있다. 이와 같은 체계는 아프리카인 사이에도 볼 수 있다.

즉, 그들은 a(아), oa(오), ua(우와), oa-ia(오아오아), oa-oa-a(오아오아아), oa-oa-oa(오아오아오아)와 같이 셈하고 있다. 이 방법은 둘을 한 묶음으로하여 되풀이 되기 때문에 2진법인 것이다.

오늘날 2진법은 컴퓨터의 키(key)에 적용된다. 즉, 자판을 칠 경우 1이, 뗄 때는 0으로 하여 모든 연산이 이루어진다. 일반적으로 3진법이상의 모든 수는 2진법으로 표시할 수 있다.

예를 들어 π = 3.14159…[10] = 11.001001000001010…[2]

0.1[7] = 0.001[2]



(5) 5진법

최초로 널리 사용된 기수법은 5진법이다. 2,3,4는 인류가 시도(試圖)한 기수법으로는 미력한 것에 불과했고, 인간이 큰 수를 세는데 한 손의 5지(指)가 필요했던 것이다. 일반적으로 왼쪽 손가락이 사용되며, 물건의 개수와 손가락으로 대응시켜 되풀이되는 방법으로 셈을 하는데, 경우에 따라 작은 돌이나 나뭇가지로 5의 표시를 하기도 한다. 남미의 부족은 한 손으로 세었는데, 1,2,3,4 손바닥, 손과1, 손과2와 같은 방법이다. 또, 파라과이의 한 부족에서는 5는 '한 손의 발가락' 10은 '두 손의 손가락' 20은 '두 손과 두 발의 손 발가락' 이라고 구술(口述)로 불리어진다고 한다. 카브리의 한 부족은 시(詩)에서 10을 '두 손의 아들'이라고 하고 있다. 또 오늘날 사용하고 있는 로마 숫자를 보면



과 같이 쓰이고 있다. 이것은 읽는 방법이 아닌 표기법의 입장에서 보면 5를 한 묶음으로 하여 되풀이되는 수이므로 5진법의 표기법이라고 볼 수 있다. 프랑스 말 뱅(vingt)도 5진법의 언어적 자국이라고 볼 수 있다.




(6) 60진법

티그리스와 유포라데스의 삼각주에서 펼쳐져 앗시리아의 북쪽에 이르고, 많은 언덕과 삼림(森林)으로 둘러 쌓인 곳, 원래는 앗슈르의 옛 서울을 감싸고 있는 지역인 바빌로니아에 대하여 이야기 하려한다.

바빌로니아 산수의 특징가운데 하나는 60이라는 수가 끊임없이 사용된 것이다. 이 60의 사용은 뒤에 가서 분모가 60인 분수의 발전을 암시하였는데 이같은 분수는 각도(角度) 시간 및 1분을 60초로 만들어 오늘날까지 남아 있는 것이다. 별(星)의 관찰에 흥미를 갖고 있는 바빌로니아인들은 1년의 원궤도가 360일로 이루어진 것이라고 일찍부터 믿었다고 생각된다. 또 그들은 내접 6각형의 1변의 길이가 그 원의 반지름과 같은 것을 알고 있었다. 이 성질은 4360을 6개의 같은 부분으로 나누는 것을 암시하고, 그리고 60이 하나의 신비한 수로 보여졌던 것이다. 이것이 60을 한 묶음으로 본 60진법의 기원(起源)이라고 보아진다.

60이 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 및 30으로 나누어지고, 그 60을 분모로 계산하면 매우 편리하고 간단하다는 이유에서 60이 선택된 것은 확실하다.